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2011年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷):理数第18题

  2016-10-28 17:01:19  

(2011天津卷计算题)

(本小题满分13分)

在平面直角坐标系中,点为动点,,分别为椭圆的左右焦点。已知为等腰三角形。

(Ⅰ)求椭圆的离心率;

(Ⅱ)设直线与椭圆相交于,两点,是直线上的点,满足,求点的轨迹方程。

【出处】
2011年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷):理数第18题
【答案】

(Ⅰ)设,。

由题意得:,即。

整理得,得(舍),或,所以。

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,可得椭圆方程为,直线的方程为。

,两点的坐标满足方程组:,

消去并整理,得,解得:,。

得方程组的解和

不妨设:,,设点的坐标为,

则,。

由,得。

于是,。

由,即。

化简得:。

将代入,得。

所以:。因此,点的轨迹方程为:。

【解析】

本题主要考查椭圆方程与直线方程的计算、以及椭圆的几何性质。

(Ⅰ)根据已知条件为等腰三角形和椭圆性质,列出关于的方程,解出离心率。

(Ⅱ)第一步:由(Ⅰ)问所求结果,写出椭圆和直线的方程,联立解出,两点坐标;第二步:设出点坐标,由条件列出方程;第三步:此时方程中存在三个未知量,由直线反解出,代回方程中解出的轨迹方程;第四步:讨论轨迹方程的定义域。

【考点】
圆锥曲线曲线与方程直线与方程
【标签】
数形结合函数与方程的思想


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