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2013年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷):文数第20题

  2016-10-30 08:47:17  

(2013湖北卷计算题)

(本小题满分13分)

如图,某地质队自水平地面三处垂直向地下钻探,自点向下钻到处发现矿藏,再继续下钻到处后下面已无矿,从而得到在处正下方的矿层厚度为。同样可得在处正下方的矿层厚度分别为,,且。过,的中点,且与直线平行的平面截多面体所得的截面为该多面体的一个中截面,其面积记为。

(Ⅰ)证明:中截面是梯形;

(Ⅱ)在中,记,边上的高为,面积为。在估测三角形区域内正下方的矿藏储量(即多面体的体积)时,可用近似公式来估算。 已知,试判断与的大小关系,并加以证明。

【出处】
2013年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷):文数第20题
【答案】

(Ⅰ)依题意平面,平面,平面,所以。

又,,,且。因此四边形、均是梯形。

由平面,平面,且平面平面,可得,即。

同理可证,所以。

又、分别为、的中点,则分别为、、、 的中点,

即、分别为梯形、的中位线。

因此,,

而,故,所以中截面是梯形。

(Ⅱ)。

证明如下:由平面,平面,可得。

而,所以,同理可得。

由是的中位线,可得,即为梯形的高,

因此,

即。

又,所以,

于是。

由,得,,故。

【解析】

本题主要考查线与线的位置关系以及空间几何体积的计算。

(Ⅰ)观察题图并结合梯形的性质可知,只要证得但即可求证本题;

(Ⅱ)利用题干信息分别计算出、的表达式,最后通过的正负判断二者的相对大小即可。

【考点】
空间几何体点、直线、平面的位置关系


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