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2014年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷):理数第19题

  2016-10-30 09:15:23  

(2014安徽卷计算题)

(本小题满分12分)

如图,已知两条抛物线:和:,过原点的两条直线和。与,分别交于,两点,与,分别交于,两点。

(Ⅰ)证明:;

(Ⅱ)过作直线(异于,)与,分别交于,两点。记与的面积分别为与,求的值。

【出处】
2014年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷):理数第19题
【答案】

(Ⅰ)因为直线过原点,且都与抛物线有两个交点,所以的斜率都一定存在。不妨设的斜率为,的斜率为,则直线的方程分别为,;

分别联立,,,,可得,,,。

所以,所以,所以。

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,在和中,,,,所以,所以。

【解析】

本题主要考查圆锥曲线的一些性质。

(Ⅰ)利用直线与曲线联立,求出各个点的坐标,然后用坐标形式表示出和,即可求解;

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,在和中,,,,所以,所以。

【考点】
圆锥曲线


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