91学 首页 > 数学 > 高考题 > 2014 > 2014年陕西理数 > 正文 返回 打印

2014年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷):理数第22题

  2016-10-30 09:15:37  

(2014陕西卷计算题)

(本小题满分13分)

如图,曲线由上半椭圆(,)和部分抛物线()连接而成,与的公共点为,,其中的离心率为。

(Ⅰ)求,的值;

(Ⅱ)过点的直线与,分别交于点,(均异于点,),若,求直线的方程。

【出处】
2014年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷):理数第22题
【答案】

(Ⅰ)在,的方程中,令,可得,且,是上半椭圆的左右顶点。

设的半焦距为,由及得。所以,。

(Ⅱ)

解法一

由(Ⅰ)知,上半椭圆的方程为()。易知,直线与轴不重合与不垂直,设其方程为(),带入的方程,整理得(*)。设点的坐标为,因为直线过点,所以是方程(*)的一个根。由求根公式,得,从而,所以点的坐标为。

同理,由,得点的坐标为。所以,。因为,所以,即,因为,所以,解得。

经检验,符合题意,故直线。

解法二

若设直线的方程为(),比照解法一给分。

【解析】

本题主要考查椭圆及抛物线。

(1)观察图即可得到的值,然后利用离心率可求出之间的关系,再利用即可求出的值;

(2)设出直线的方程,分别与椭圆方程及抛物线方程联立,求解出的坐标用直线的斜率表示,从而可得到,再利用的数量积为,可解出直线的斜率,从而得到直线的方程。

【考点】
圆锥曲线


http://x.91apu.com//shuxue/gkt/2014/2014sxl/29888.html