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2014年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷):理数第21题

  2016-10-30 09:16:22  

(2014四川卷计算题)

(本小题满分14分)

已知函数,其中,为自然对数的底数。

(Ⅰ)设是函数的导函数,求函数在区间上的最小值;

(Ⅱ)若,函数在区间内有零点,求的取值范围。

【出处】
2014年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷):理数第21题
【答案】

(Ⅰ)由,有,所以。因此当时,。

当时,,所以在上单调递增,因此在上的最小值是。

当时,,所以在上单调递减,因此在上的最小值是;

当时,令,得,所以函数在区间上单调递减,在区间上单调递增。于是,在上的最小值是。

综上所述,当时,在上的最小值是;当时,在上的最小值是;当时,在上的最小值是。

(Ⅱ)设为在区间内的一个零点,则由可知,在区间上不可能单调递增,也不可能单调递减。

则不可能恒为正,也不可能恒为负。故在区间内存在零点,同理在区间内存在零点,所以在区间内至少有两个零点。

由(Ⅰ)知,当时,在上单调递增,故在内至多有一个零点;

当时,在上单调递减,故在内至多有一个零点;所以。

此时在区间上单调递减,在区间上单调递增。

因此,,

必有,。

由有,有,,

解得。

当时,在区间内有最小值。

若,则,

从而在区间单调递增,这与矛盾,所以。

又,,

故此时在和内各只有一个零点和。

由此可知在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增。

所以,,

故在内有零点。

综上可知,的取值范围是。

【解析】

本题主要考查导数在研究函数中的应用。

(Ⅰ)利用导数判断函数在区间上的单调性,从而求最值。

(Ⅱ)利用(Ⅰ)中函数的单调性求解。

【考点】
导数在研究函数中的应用


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