如图，边长为的正方形所在的平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点。
（1）证明：平面平面；
（2）当三棱锥体积最大时，求面与面所成二面角的正弦值。
（1）由题设知，平面平面，交线为。
因为为正方形，，平面，
所以平面，故。
因为为上异于，的点，且为直径，
所以。
又，
所以平面。
而平面，
故平面平面。
（2）因为三棱锥底面固定，
所以当三棱锥体积最大时，在半圆弧弧顶，
所以作交于，为半圆弧的圆心。
取中点，连接、，
因为为中点，
所以，，
所以为面与面所成二面角。
因为正方形的边长为，
所以，
即面与面所成二面角的正弦值为。
本题主要考查空间几何体。
（1）由两平面垂直且为正方形，可以得到一组线面垂直，即半圆弧所在平面，由此得到线线垂直；又由点在圆弧上且为圆的直径，可得，即有线面垂直平面，再由线面垂直即可得面面垂直。
（2）根据体积最大值确定点位置，由线面关系，可以得到二面角，再由线段长度即可得到二面角正弦值。
