如图，在三棱柱中，平面，，，，分别为，，，的中点，，。
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值；
（Ⅲ）证明：直线与平面相交。
（Ⅰ）证明：因为为中点，，
所以。
因为平面，、分别为、的中点，
所以，
所以平面。
因为平面，
又因为，平面，平面，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面，，。
又因为，
所以、、两两垂直。
以为原点，分别以、、为、、轴建立空间直角坐标系，如图所示，
在中，因为，，
所以，，
所以，，，，，
所以，。
设平面的法向量为，
则，即，
不妨令，所以，
显然，平面，
所以可取平面的法向量为。
设平面的法向量与平面的法向量的夹角为，
则，
由图可得，二面角为钝角，
所以二面角的余弦值为。
（Ⅲ）证明：因为，，
由（Ⅱ）可知，平面的一个法向量为，
而，
所以直线不与平面平行，
又直线不在平面内，
所以直线与平面相交。
本题主要考查空间向量的应用和点、直线、平面的位置关系。
（Ⅰ）由，为中点可得，由，平面得。因为，所以平面。
（Ⅱ）由（Ⅰ）的结论建立空间直角坐标系，分别得出，，进而求得平面的一个法向量，由平面，所以，观察图可知二面角为钝角，所以二面角余弦值为。
（Ⅲ）根据说明与法向量不垂直，得到直线不与平面平行，即直线与平面相交。
