如图，已知点是轴左侧（不含轴）一点，抛物线上存在不同的两点、满足、的中点均在上。
（Ⅰ）设中点为，证明：垂直于轴；
（Ⅱ）若是半椭圆（）上的动点，求面积的取值范围。
（Ⅰ）设，，，
则，
的中点坐标为，
的中点坐标为。
因为、的中点均在抛物线上，
所以，，
整理得，，
所以，，为方程的两根，
则，即，
所以轴，即轴。
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，。
又，，
所以，
。
记，又，
即。
所以面积的取值范围为。
本题主要考查直线与圆锥曲线。
（Ⅰ）分别设出点、点和点的坐标，
用点和点的坐标表示出中点的坐标，
写出的中点坐标和的中点坐标，
代入曲线方程，整理得到两个方程，
根据一元二次方程根与系数的关系，得到，
即轴，则轴。
（Ⅱ），
用一元二次方程根与系数的关系，表示出和，
得到，
记，根据的取值范围算出最后结果。
