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2019年高考数学北京--文19

  2019-06-22 10:15:09  

(2019北京卷计算题)

(本小题14分)

已知椭圆:的右焦点为,且经过点。

(Ⅰ)求椭圆的方程;

(Ⅱ)设为原点,直线:()与椭圆交于两个不同点,,直线与轴交于点,直线与轴交于点。若,求证:直线经过定点。

【出处】
2019年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷):文数第19题
【答案】

(Ⅰ)因为椭圆右焦点为,所以。

又因为椭圆经过点,所以,

所以,

故椭圆的方程为。

(Ⅱ)联立,得,

由题意知该方程有两个不同解,

则,

即,

设,,

则:,:,

故,,

若,则,

而,,

,

则,

则,解得,

故,即该不等式恒成立。

故直线的方程为,则直线过定点。

【解析】

本题主要考查圆锥曲线和直线与圆锥曲线。

(Ⅰ)由右焦点的坐标可得,根据点的坐标可得,则,即得椭圆方程。

(Ⅱ)联立直线与椭圆的方程,由可得,设,,可得直线和的方程,即可得点和点的坐标,再根据和根与系数的关系可得,即可解得,所以可得直线方程为,则直线过定点。

【考点】
圆锥曲线直线与圆锥曲线


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