已知，函数，其中为自然对数的底数。
（1）证明：函数在上有唯一零点。
（2）记为函数在上的零点，证明：
（i）。
（ii）。
（1）证明：因为，
当时，，
所以在上单调递增，
所以最多只有一个零点，
因为，，
所以由零点存在定理，存在使得，
即函数在上有唯一零点。
（2）证明：（i），
令，则且，
设，则，，
则在上单调递减，在上单调递增，
又因为，，
所以时，恒成立，
所以在上单调递减，
因此，
即，从而由单调递增得。
再证：，
注意到，
令，则，
设，
所以，
则在上恒成立，
因为，
所以在上恒成立，
因此在上单调递增，
所以
又因为在上单调递增，
综上，。
（ii）满足：，
设
，
其中，。
因为是关于的二次函数，图象开口向上，
且对称轴是直线，
所以函数在上单调递增，
所以。
因此欲证命题：成立，
只需证明：，
它等价于，
因为，且，
所以利用在上恒成立可得，
即，
所以原命题成立。
本题主要考查导数的计算和导数在研究函数中的应用。
（1）求导，得到在上单调递增，根据零点存在定理证明即可。
（2）（i）先证左边的不等式：令，则且，设，求导两次得到在上单调递减，则有，即，从而由单调递增得。再证右边的不等式：令，，求导两次得到在上单调递增，则，从而由单调递增得，即可得证。
（ii）根据（，，）得到，则是关于的二次函数，图象开口向上，证明对称轴在轴左边，从而求出二次函数在上的最小值为，证明即可。
