本题主要考查圆与方程和导数在研究函数中的应用。

如图所示，作所在直径，交于点，连接，，，。

因为，，

所以，为垂径。

要使最大，则点，位于点两侧，并设，

因为点，点，

所以，

则，，

故，

令，

则

，，

记函数，，

则，

令，

解得（舍去），

当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

又因为在上单调递减，

所以当时，取最大值，即最大，

此时，

则，

即面积的最大值为。

故本题正确答案为。