91学 首页 > 数学 > 高考题 > 2025 > 2025年新高考2 > 正文 返回 打印

2025年高考数学新高考Ⅱ-9

  2026-10-10 17:45:14  

(6分)记$S_{n}$为等比数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和,$q$为$\{a_{n}\}$的公比,$q > 0$.若$S_{3}=7$,$a_{3}=1$,则(  )
A.$q=\dfrac{1}{2}$              B.$a_{5}=\dfrac{1}{9}$              C.$S_{5}=8$              D.$a_{n}+S_{n}=8$
〖答案〗$AD$
〖分析〗根据等比数列的定义和已知条件可求出$q$,可判断各选项正误.
〖解答〗解:由已知,$S_{3}=a_{1}+a_{2}+a_{3}=\dfrac{1}{{q}^{2}}+\dfrac{1}{q}+1=7$,
即$6q^{2}-q-1=0$,解得$q=\dfrac{1}{2}$(负根舍去),故$A$正确,
$a_{5}=q^{2}=\dfrac{1}{4}$,故$B$错误,
$S_{5}=S_{3}+q+q^{2}=7+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{31}{4}$,故$C$错误,
$a_{n}=a_{3}q^{n-3}=\dfrac{1}{{2}^{n-3}}$,$S_{n}=\dfrac{4(1-\dfrac{1}{{2}^{n}})}{1-\dfrac{1}{2}}=8-\dfrac{1}{{2}^{n-3}}$,
所以$a_{n}+S_{n}=\dfrac{1}{{2}^{n-3}}+8-\dfrac{1}{{2}^{n-3}}=8$,故$D$正确.
故选:$AD$.
〖点评〗本题主要考查等比数列的通项公式,属于基础题.

http://x.91apu.com//shuxue/gkt/2025/2025xgk2/2026-10-10/34360.html