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2025年高考数学新高考Ⅱ-10

  2026-10-10 17:45:21  

(6分)已知$f(x)$是定义在$R$上的奇函数,且当$x > 0$时,$f(x)=(x^{2}-3)e^{x}+2$,则(  )
A.$f(0)=0$              
B.当$x < 0$时,$f(x)=-(x^{2}-3)e^{-x}-2$              
C.$f(x)\geqslant 2$,当且仅当$x\geqslant \sqrt{3}$              
D.$x=-1$是$f(x)$的极大值点
〖答案〗$ABD$
〖分析〗求解$f(0)$判断$A$;利用函数的解析式判断$B$;利用函数的值域求解$x$的范围判断$C$;求解函数的极值判断$D$.
〖解答〗解:$f(x)$是定义在$R$上的奇函数,所以$f(0)=0$,所以$A$正确;
当$x < 0$时,$-x > 0$,函数是奇函数,所以$f(x)=-f(-x)=-[((-x)^{2}-3)e^{-x}+2]=-(x^{2}-3)e^{-x}-2$,所以$B$正确.
$f\prime (x)=(x^{2}+2x-3)e^{x}=(x-1)(x+3)e^{x}$,
$x\in (0,1)$,$f\prime (x) < 0$,函数是减函数,$x\in (1,+\infty )$,$f\prime (x) > 0$.函数是增函数,
所以$x=1$是极小值点,$f$(1)$=2-2e$,
因为函数是奇函数,所以$x=-1$是极大值点,$D$正确;
极大值为$2e-2 > 2$,又因为$f(\sqrt{3})=2$,函数图象如下:

由图像可得$C$不正确.
故选:$ABD$.
〖点评〗本题考查函数的导数的应用,极值的求法,解析式的求法,是中档题.

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