（15分）如图，四边形$ABCD$中，$AB//CD$，$\anglele DAB=90^\circ$，$F$为$CD$中点，点$E$在$AB$上，$EF//AD$，$AB=3AD$，$CD=2AD$．将四边形$EFDA$沿$EF$翻折至四边形$EFD\prime A\prime$，使得面$EFD\prime A\prime$与面$EFCB$所成的二面角为$60^\circ$．
（1）证明：$A\prime B//$平面$CD\prime F$；
（2）求面$BCD\prime$与面$EFD\prime A\prime$所成二面角的正弦值．

〖答案〗（1）证明过程见解析；
（2）$\dfrac{\sqrt{42}}{7}$．
〖分析〗（1）结合折叠前四边形$AEFD$为矩形，折叠后不变的平行关系，证出平面$A\prime EB//$平面$CD\prime F$，即可证得结论；
（2）如图建立空间直角坐标系，分别求出两个半平面的法向量，套公式求解．
〖解答〗解：（1）证明：因为在四边形$ABCD$中，$AB//CD$，且$EF//AD$，所以$AEFD$，
又$\anglele DAB=90^\circ$，所以四边形$AEFD$为矩形，
折叠后，显然$EB//FC$，$EB\not\subsetset$平面$CD\prime F$，$FC\subset$平面$CD\prime F$，
所以$EB//$平面$CD\prime F$，
又$EA\prime //FD\prime$，且$FD\prime \subset$平面$CD\prime F$，$EA\prime \not\subsetset$平面$CD\prime F$，
所以$EA\prime //$平面$CD\prime F$，
又$EA\prime \bigcap EB=E$，所以平面$EA\prime B//$平面$CD\prime F$，又$A\prime B\subset$平面$EA\prime B$，
所以$A\prime B//$平面$CD\prime F$；
（2）由$\anglele DAB=90^\circ$，$EF//AD$，所以$EF\bot CD$，所以$EF\bot FC$，$EF\bot FD\prime$，
所以面$EFD\prime A\prime$与面$EFCB$所成二面角的平面角为$\anglele CFD\prime =60^\circ$，
结合$CF\bigcap FD\prime =F$，所以$EF\bot$平面$CFD\prime$，可得平面$CFD\prime \bot$平面$EBCF$，
又$F$为$CD$的中点，所以△$CFD\prime$为等边△，
如图以$F$为原点建立空间直角坐标系，设$AB=3AD=6$，则$CD=2AD=4$，
所以$F(0$，0，$0)$，$E(2$，0，$0)$，$C(0$，2，$0)$，$B(2$，4，$0)$，$D\prime (0$，1，$\sqrt{3})$，
所以$\overrightarrow{FE}=(2,0,0)$，$\overrightarrow{FD\prime }=(0$，1，$\sqrt{3})$，$\overrightarrow{CB}=(2,2,0)$，$\overrightarrow{CD\prime }=(0,-1,\sqrt{3})$，
设平面$EFD\prime A\prime$的法向量为$\overrightarrow{m}=(x,y,z)$，
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}\cdot \overrightarrow{FE}=2x=0}\\ {\overrightarrow{m}\cdot \overrightarrow{FD\prime }=y+\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，可得$\overrightarrow{m}=(0,-\sqrt{3},1)$，
再设平面$BCD\prime$的法向量$\overrightarrow{n}=(x,y,z)$，
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{CB}=2x+2y=0}\\ {\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{CD\prime }=-y+\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，解得$\overrightarrow{n}=(-\sqrt{3},\sqrt{3},1)$，

设面$BCD\prime$与面$EFD\prime A\prime$所成二面角为$\theta$，
则$\vert \cos \theta \vert =\dfrac{\vert \overrightarrow{m}\cdot \overrightarrow{n}\vert }{\vert \overrightarrow{m}\vert \vert \overrightarrow{n}\vert }=\dfrac{\vert 0\times (-\sqrt{3})-\sqrt{3}\times \sqrt{3}+1\times 1\vert }{\sqrt{(-\sqrt{3})^{2}+{1}^{2}}\sqrt{(-\sqrt{3})^{2}+(\sqrt{3})^{2}+{1}^{2}}}=\dfrac{1}{\sqrt{7}}$，
所以$\sin \theta =\sqrt{1-co{s}^{2}\theta }=\dfrac{\sqrt{42}}{7}$．
〖点评〗本题考查空间线面位置关系的证明，以及利用坐标法求二面角，属于中档题．