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2025年高考数学北京-6

  2026-10-10 17:44:40  

(4分)已知$a > 0$,$b > 0$,则(  )
A.$a^{2}+b^{2} > 2ab$              B.$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\geqslant \dfrac{1}{ab}$              C.$a+b > \sqrt{ab}$              D.$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\leqslant \dfrac{2}{\sqrt{ab}}$
〖答案〗$C$
〖分析〗根据重要不等式及基本不等式,即可求解.
〖解答〗解:因为$a > 0$,$b > 0$,所以$a^{2}+b^{2}\geqslant 2ab$,当且仅当$a=b$时,等号成立,所以$A$选项错误;
取$a=b=\dfrac{1}{3}$,则$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=6$,而$\dfrac{1}{ab}=9$,所以$B$选项错误;
因为$a+b\ge 2\sqrt{ab} >  \sqrt{ab}$,所以$C$选项正确;
因为$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge 2\sqrt{\dfrac{1}{ab}}=\dfrac{2}{\sqrt{ab}}$,所以$D$选项错误.
故选:$C$.
〖点评〗本题考查重要不等式及基本不等式的应用,属基础题.

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