（15分）已知集合$A=\{1$，2，3，4，5，6，7，$8\}$，$M=\{(x,y)\vert x\in A$，$y\in A\}$．从$M$中选取$n$个不同的元素组成一个序列：$(x_{1}$，$y_{1})$，$(x_{2}$，$y_{2})$，$\ldots$，$(x_{n}$，$y_{n})$，其中$(x_{i}$，$y_{i})$称为该序列的第$i$项$(i=1$，2，$\ldots$，$n)$，若该序列的相邻项$(x_{i}$，$y_{i})$，$(x_{i+1}$，$y_{i+1})$满足：$\left\{\begin{array}{l}\left\vert {x}_{i+1}-{x}_{i}\right\vert =3\\  \left\vert {y}_{i+1}-{y}_{i}\right\vert =4\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}\left\vert {x}_{i+1}-{x}_{i}\right\vert =4\\  \left\vert {y}_{i+1}-{y}_{i}\right\vert =3\end{array}\right.(i=1$，2，$\ldots$，$n-1)$，则称该序列为$K$列．
（1）对于第1项为$(3,3)$的$K$列，写出它的第2项．
（2）若$\Gamma$为$K$列，且$\Gamma$中的项$(x_{i}$，$y_{i})(i=1$，2，$\ldots$，$n)$满足：当$i$为奇数时，$x_{i}\in \{1$，2，7，$8\}$；当$i$为偶数时，$x_{i}\in \{3$，4，5，$6\}$．判断$(3,2)$，$(4,4)$能否同时为$\Gamma$中的项，并说明理由；
（3）证明：由$M$的全部元素组成的序列都不是$K$列．
〖答案〗（1）$(6,7)$或$(7,6)$；
（2）二者不能同时出现在$\tau$中，理由见解答．
（3）证明见解答．
〖分析〗（1）根据新定义即可得解；
（2）假设$(3,2)$与$(4,4)$能同时在$\tau$中，导出矛盾，从而得出$(3,2)$与$(4,4)$不能同时在$\tau$中的结论；
（3）假设全体元素构成一个$k$列，通过构造导出矛盾，从而得到要证明的结论．
〖解答〗解：（1）根据题目定义可知，$\left\{\begin{array}{l}x_{i+1}=x_{i}\pm 3\\  y_{i+1}=y_{i}\pm 4\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x_{i+1}=x_{i}\pm 4\\  y_{i+1}=y_{i}\pm 3\end{array}\right.$，
若第一项为$(3,3)$，显然$x_{2}=0$或$-1$不符合题意（不在集合$A$中），
所以第二项是$(6,7)$或$(7,6)$；
（2）假设二者同时出现在$\Gamma$中，由于$K$列取反序后仍是$k$列，故可以不妨设$(3,2)$在$(4,4)$之前．
显然，在$K$列中，相邻两项的横纵坐标之和的奇偶性总是相反的，所以从$(3,2)$到$(4,4)$必定要向下一项走奇数次．
但又根据题目条件，这两个点的横坐标均在$\tau$中，所以从$(3,2)$到$(4,4)$必定要向下一项走偶数次．
这导致矛盾，所以二者不能同时出现在$\tau$中．
（3）全体元素构成一个$K$列，则$n=64$，
设$T_{1}=\{(x,y)\vert x\in \{1$，2，7，$8\}$，$y\in \{1$，2，3，4，5，6，7，$8\}\}$，
$T_{2}=\{(x,y)\vert x\in \{3$，4，5，$6\}$，$y\in \{1$，2，3，4，5，6，7，$8\}\}$．
则$T_{1}$和$T_{2}$都包含32个元素，且$T_{1}$中元素的相邻项必定在$T_{2}$中．
如果存在至少两对相邻的项属于$T_{2}$，那么属于$T_{2}$的项的数目一定多于属于$T_{1}$的项的数目，
所以至多存在一对相邻的项属于$T_{2}$，
如果存在，则这对相邻的项的序号必定形如$2m$和$2m+1$，
否则将导致属于$T_{2}$的项的个数比属于$T_{1}$的项的个数多2，此时$m=1$，2，3，$\ldots$，31，
从而这个序列的前$2m$项中，第奇数项属于$T_{1}$，第偶数项属于$T_{2}$，
这个序列的后$64-2m$项中，第奇数项属于$T_{2}$，第偶数项属于$T_{1}$，
如果不存在相邻的属于$T_{2}$的项，那么也可以看作上述表示在$m=0$或$m=32$的特殊情况．
这意味着必定存在$m\in \{0$，1，2，$\ldots$，$32\}$，使得$\left\{\begin{array}{l}(x_{2k-1},y_{2k-1})\in T_{1},(x_{2k},y_{2k})\in T_{2},1\le k\le m\\ (x_{2k-1},y_{2k-1})\in T_{2},(x_{2k},y_{2k})\in T_{1},m+1\le k\le 32\end{array}\right.$，
由于相邻两项的横纵坐标之和的奇偶性必定相反，故$T_{1}$中横纵坐标之和为奇数的点和横纵坐标之和为偶数的点的数量一定分别是$m$和$32-m$（不一定对应）．
但容易验证，$T_{1}$和$T_{2}$都包含16个横纵坐标之和为奇数的点和16个横纵坐标之和为偶数的点，
所以$m=32-m=16$，得$m=16$．
从而有$\left\{\begin{array}{l}(x_{2k-1},y_{2k-1})\in T_{1},(x_{2k},y_{2k})\in T_{2},1\le k\le 16\\ (x_{2k-1},y_{2k-1})\in T_{2},(x_{2k},y_{2k})\in T_{1},17\le k\le 32\end{array}\right.$
这就得到$T_{1}=\{(x_{k}$，$y_{k})\vert k=1$，3，$5\ldots \ldots$，29，31，34，$36\ldots \ldots$，62，$64\}$．
再设$T_{3}=\{(x,y)\vert x\in \{1$，2，3，4，5，6，7，$8\}$，$y\in \{1$，2，7，$8\}\}$，
$T_{4}=\{(x,y)\vert x\in \{1$，2，3，4，5，6，7，$8\}$，$y\in \{3$，4，5，$6\}\}$．
则同理有$\left\{\begin{array}{l}(x_{2k-1},y_{2k-1})\in T_{3},(x_{2k},y_{2k})\in T_{4},1\le k\le 16\\ (x_{2k-1},y_{2k-1})\in T_{4},(x_{2k},y_{2k})\in T_{3},17\le k\le 32\end{array}\right.$，
这意味着$T_{3}=\{(x_{k}$，$y_{k})\vert k=1$，3，5，$\ldots$，29，31，34，36，$\ldots$，62，$64\}$．
从而得到$T_{3}=T_{1}$，但显然它们是不同的集合，矛盾．
所以全体元素不能构成一个$k$列．
〖点评〗本题考查对新定义的理解，属于难题．