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2025年高考数学北京-17<-->2025年高考数学北京-19
（15分）某次考试中，只有一道单项选择题考查了某个知识点，甲、乙两校的高一年级学生都参加了这次考试．为了解学生对该知识点的掌握情况，随机抽查了甲、乙两校高一年级各100名学生该题的答题数据，其中甲校学生选择正确的人数为80，乙校学生选择正确的人数为75．
假设学生之间答题相互独立．用频率估计概率．
（1）估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率$p$；
（2）从甲、乙两校高一年级学生中各随机抽取1名．设$X$为这2名学生中该题选择正确的人数，估计$X=1$的概率及$X$的数学期望；
（3）假设：如果没有掌握该知识点，学生就从题目给出的四个选项中随机选择一个作为答案；如果掌握该知识点，甲校学生选择正确的概率为$100%$，乙校学生选择正确的概率为$85%$．
设甲、乙两校高一年级学生掌握该知识点的概率估计值分别为$p_{1}$，$p_{2}$，判断$p_{1}$与$p_{2}$的大小．（结论不要求证明）
〖答案〗（1）$\dfrac{4}{5}$；
（2）0.35，$E(X)=1.55$；
（3）$p_{1} < p_{2}$．
〖分析〗（1）用频率估计概率后可得从甲校高一年级学生该题选择正确的概率；
（2）利用独立事件可求恰有1人做对的概率及$X$的分布列，从而可求其期望；
（3）根据题设可得关于$p_{1}$，$p_{2}$的方程，求出其解后可得它们的大小关系．
〖解答〗解：（1）用频率估计概率，甲校高一年级学生该题选择正确的概率为$\dfrac{80}{100}=\dfrac{4}{5}$．
（2）设$A$为“从甲校抽取1人做对”，则$P$（A）$=0.8$，
则$P(\overline{A})=0.2$，设$B$为“从乙校抽取1人做对”，
则$P$（B）$=0.75$，则$P(\overline{B})=0.25$，设$C$为“恰有1人做对”，
故$P(C)=P(A\overline{B})+P(\overline{A}B)=P(A)P(\overline{B})+P(\overline{A})P(B)=0.35$，
而$X$可取0，1，2，$P(X=0)=P(\overline{AB})=0.05$，
$P(X=1)=0.35$，$P(X=2)=0.8\times 0.75=0.6$，
故$X$的分布列如下表：
$X$
0
1
2
$P$
0.05
0.35
0.6
故$E(X)=1\times 0.35+2\times 0.6=1.55$；
（3）证明：设$D$为“甲校掌握该知识的学生”，
因为甲校掌握这个知识点则有$100%$的概率做对该题目，未掌握该知识点的同学都是从四个选项里面随机选择一个，
故$P(D)+\dfrac{1}{4}(1-P(D))=0.8$，
即$p_{1}+\dfrac{1}{4}\times (1-p_{1})=0.8$，
故$p_{1}=\dfrac{11}{15}$，
同理有$0.85p_{2}+\dfrac{1}{4}\times (1-p_{2})=0.75$，
故$p_{2}=\dfrac{5}{6}$，
故$p_{1} < p_{2}$．
〖点评〗本题考查离散型随机变量的均值（数学期望），属于中档题．
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