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2025年高考数学新高考Ⅰ-7

  2026-10-10 17:44:48  

(5分)若圆$x^{2}+(y+2)^{2}=r^{2}(r > 0)$上到直线$y=\sqrt{3}x+2$的距离为1的点有且仅有2个,则$r$的取值范围是(  )
A.$(0,1)$              B.$(1,3)$              C.$(3,+\infty )$              D.$(0,+\infty )$
〖答案〗$B$
〖分析〗求解圆的圆心到直线的距离,与圆的半径比较,即可得到$r$的范围.
〖解答〗解:圆$x^{2}+(y+2)^{2}=r^{2}(r > 0)$的圆心$(0,-2)$,半径为$r$,
圆心到直线$y=\sqrt{3}x+2$的距离$d=\dfrac{\vert 2+2\vert }{\sqrt{1+3}}=2$,
圆$x^{2}+(y+2)^{2}=r^{2}(r > 0)$上到直线$y=\sqrt{3}x+2$的距离为1的点有且仅有2个,
可得$d-1 < r < d+1$,即$r\in (1,3)$.
故选:$B$.
〖点评〗本题考查直线与圆的位置关系的应用,是中档题.

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