2025年高考数学新高考Ⅰ-16（15分）设数列$\{a_{n}\}$满足$a_{1}=3$，$\dfrac{{a}_{n+1}}{n}=\dfrac{{a}_{n}}{n+1}+\dfrac{1}{n(n+1)}$．
（1）证明：$\{na_{n}\}$为等差数列；
（2）设$f(x)=a_{1}x+a_{2}x^{2}+\dotsb +a_{m}x^{m}$，求$f\prime (-2)$．【答案详解】 |
2025年高考数学新高考Ⅰ-17（15分）如图所示的四棱锥$P-ABCD$中，$PA\bot$平面$ABCD$，$BC//AD$，$AB\bot AD$．
（1）证明：平面$PAB\bot$平面$PAD$；
（2）若$PA=AB=\sqrt{2}$，$AD=\sqrt{3}+1$，$BC=2$，$P$，$B$，$C$，$D$在同一个球面上，设该球面的球心为$O$．
$(i)$证明：$O$在平面$ABCD$上；
$(ii)$求直线$AC$与直线$PO$所成角的余弦值．【答案详解】 |
2025年高考数学新高考Ⅰ-18（17分）已知椭圆$C:\dfrac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\dfrac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1(a > b > 0)$的离心率为$\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$，椭圆下顶点为$A$，右顶点为$B$，$\vert AB\vert =\sqrt{10}$．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知动点$P$不在$y$轴上，点$R$在射线$AP$上，且满足$\vert AR\vert \cdot \vert AP\vert =3$．
$(i)$设$P(m,n)$，求点$R$的坐标（用$m$，$n$表示）；
$(ii)$设$O$为坐标原点，$Q$是$C$上的动点，直线$OR$的斜率是直线$OP$的斜率的3倍，求$\vert PQ\vert$的最大值．【答案详解】 |
2025年高考数学新高考Ⅰ-19（17分）设函数$f(x)=5\cos x-\cos 5x$．
（1）求$f(x)$在$[0$，$\dfrac{\pi }{4}]$的最大值；
（2）给定$\theta \in (0,\pi )$，$a$为给定实数，证明：存在$y\in [a-\theta$，$a+\theta ]$，使得$\cos y\leqslant \cos \theta$；
（3）若存在$\varphi$使得对任意$x$，都有$5\cos x-\cos (5x+\varphi )\leqslant b$，求$b$的最小值．【答案详解】 |
