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2025年高考数学新高考Ⅰ-15<-->2025年高考数学新高考Ⅰ-17
（15分）设数列$\{a_{n}\}$满足$a_{1}=3$，$\dfrac{{a}_{n+1}}{n}=\dfrac{{a}_{n}}{n+1}+\dfrac{1}{n(n+1)}$．
（1）证明：$\{na_{n}\}$为等差数列；
（2）设$f(x)=a_{1}x+a_{2}x^{2}+\dotsb +a_{m}x^{m}$，求$f\prime (-2)$．
〖答案〗（1）证明见解答；（2）$f\prime (-2)=\dfrac{7}{9}-\dfrac{3m+7}{9}\cdot (-2)^{m}$，$m\in N^*$．
〖分析〗（1）将条件式两边同时乘以$n(n+1)$后移项即可证得；
（2）由（1）得$na_{n}=n+2$，对函数求导后赋值可得$f\prime (-2)$的形式，由错位相减法求和即可．
〖解答〗解：（1）证明：因为$\dfrac{{a}_{n+1}}{n}=\dfrac{{a}_{n}}{n+1}+\dfrac{1}{n(n+1)}$，
所以$(n+1)a_{n+1}=na_{n}+1$，即$(n+1)a_{n+1}-na_{n}=1$，
因为$a_{1}=3$，所以数列$\{na_{n}\}$是首项为3，公差为1的等差数列；
（2）由（1）知，$na_{n}=3+n-1=n+2$，
因为$f(x)=a_{1}x+a_{2}x^{2}+\dotsb +a_{m}x^{m}$，
所以$f\prime (x)={a}_{1}+2{a}_{2}x+...+m{a}_{m}{x}^{m-1}=3+4x+5x^{2}+...+(m+1)x^{m-2}+(m+2)x^{m-1}$，
所以$f\prime (-2)=3+4\times (-2)+5\times (-2)^{2}+...+(m+1)(-2)^{m-2}+(m+2)(-2)^{m-1}$，①
$-2f\prime (-2)=3\times (-2)+4\times (-2)^{2}+5\times (-2)^{3}+...+(m+1)(-2)^{m-1}+(m+2)(-2)^{m}$，②
①$-$②得：$3f\prime (-2)=3+(-2)^{1}+(-2)^{2}+(-2)^{3}+...+(-2)^{m-1}-(m+2)(-2)^{m}$
$=3+\dfrac{-2[1-(-2)^{m-1}]}{1-(-2)}-(m+2)(-2)^{m}=\dfrac{7}{3}-\dfrac{3m+7}{3}\cdot (-2)^{m}$，
所以$f\prime (-2)=\dfrac{7}{9}-\dfrac{3m+7}{9}\cdot (-2)^{m}$，$m\in N^*$．
〖点评〗本题考查等差数列的概念，错位相减法求和，导数的运算，属于中档题．
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