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2025年高考数学新高考Ⅰ-16<-->2025年高考数学新高考Ⅰ-18
（15分）如图所示的四棱锥$P-ABCD$中，$PA\bot$平面$ABCD$，$BC//AD$，$AB\bot AD$．
（1）证明：平面$PAB\bot$平面$PAD$；
（2）若$PA=AB=\sqrt{2}$，$AD=\sqrt{3}+1$，$BC=2$，$P$，$B$，$C$，$D$在同一个球面上，设该球面的球心为$O$．
$(i)$证明：$O$在平面$ABCD$上；
$(ii)$求直线$AC$与直线$PO$所成角的余弦值．
〖答案〗（1）证明见解答；（2）$(i)$证明见解答；$(ii)\dfrac{\sqrt{2}}{3}$．
〖分析〗（1）由$PA\bot$平面$ABCD$得$PA\bot AB$，结合题意，可得$AB\bot$平面$PAD$，再由面面垂直的判定定理证明即可；
（2）$(i)$建立空间直角坐标系，设球心$O(x$，$y$，$z)$，半径$R$，利用空间中两点的距离公式建立方程组，解方程组可得$O$点坐标和$R$，进而可得结论；
$(ii)$利用空间向量法求异面直线所成角的余弦值即可．
〖解答〗解：（1）证明：$\because PA\bot$平面$ABCD$，$AB\subset$平面$ABCD$，
$\therefore PA\bot AB$，
$\because AB\bot AD$，$AD\bigcap PA=A$，$AD$，$PA\subset$平面$PAD$，
$\therefore AB\bot$平面$PAD$，
$\because AB\subset$平面$PAB$，
$\therefore$平面$PAB\bot$平面$PAD$．
（2）$(i)$证明：由题意，$AB$，$AD$，$AP$两两垂直，分别以$AB$，$AD$，$AP$为$x$，$y$，$z$轴，建立空间直角坐标系$A-xyz$，
则$B(\sqrt{2},0,0)$，$C(\sqrt{2},2,0)$，$D(0,\sqrt{3}+1,0)$，$P(0,0,\sqrt{2})$，
设球心$O(x$，$y$，$z)$，半径$R$，
则$\left\{\begin{array}{l}OP=R\\ OB=R\\ OC=R\\ OD=R\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{x^{2}+y^{2}+(z-\sqrt{2})^{2}}=R\\ \sqrt{(x-\sqrt{2})^{2}+y^{2}+z^{2}}=R\\ \sqrt{(x-\sqrt{2})^{2}+(y-2)^{2}+z^{2}}=R\\ \sqrt{x^{2}+(y-\sqrt{3}-1)^{2}+z^{2}}=R\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}x=0\\ y=1\\ z=0\\ R=\sqrt{3}\end{array}\right.$，
$\therefore O(0$，1，$0)$，$\therefore O\in$平面$ABCD$．
$(ii)$由$(i)$得$\overrightarrow{AC}=(\sqrt{2},2,0)$，$\overrightarrow{PO}=(0,1,-\sqrt{2})$，
设直线$AC$与直线$PO$所成角为$\theta$，
则$\cos \theta =\vert \cos < \overrightarrow{AC},\overrightarrow{PO} > \vert =\dfrac{\vert \overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{PO}\vert }{\vert \overrightarrow{AC}\vert \cdot \vert \overrightarrow{PO}\vert }=\dfrac{2}{\sqrt{6}\times \sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{2}}{3}$．
〖点评〗本题考查平面与平面垂直的判定，考查异面直角所成的角的余弦值，考查空间几何体的外接球的确定，是中档题．
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