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2025年高考数学新高考Ⅰ-17<-->2025年高考数学新高考Ⅰ-19
（17分）已知椭圆$C:\dfrac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\dfrac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1(a > b > 0)$的离心率为$\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$，椭圆下顶点为$A$，右顶点为$B$，$\vert AB\vert =\sqrt{10}$．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知动点$P$不在$y$轴上，点$R$在射线$AP$上，且满足$\vert AR\vert \cdot \vert AP\vert =3$．
$(i)$设$P(m,n)$，求点$R$的坐标（用$m$，$n$表示）；
$(ii)$设$O$为坐标原点，$Q$是$C$上的动点，直线$OR$的斜率是直线$OP$的斜率的3倍，求$\vert PQ\vert$的最大值．
〖答案〗（1）$\dfrac{{x}^{2}}{9}+y^{2}=1$；
（2）$(i)(\dfrac{3m}{{m}^{2}{+(n+1)}^{2}}$，$\dfrac{{-m}^{2}{-n}^{2}+n+2}{{m}^{2}{+(n+1)}^{2}})$；
$(ii)3\sqrt{3}+3\sqrt{2}$．
〖分析〗（1）由$A(0,-b)$，$B(a,0)$，$\vert AB\vert =\sqrt{10}$，$e=\dfrac{c}{a}=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$，$c^{2}=a^{2}-b^{2}$，列方程组求出$a^{2}$，$b^{2}$即可；
（2）$(i)$设点$P(m,n)$，$R(x,y)$，由题意列方程组求解可得$R$的坐标；
$(ii)$求出直线$OQ$的斜率$k_{1}$，直线$OP$的斜率$k_{2}$，由$k_{1}=3k_{2}$，得出点$P$的轨迹为圆，又$Q$为椭圆上一点，计算$\vert PQ\vert$的最大值为点$M$到圆心的距离$+$半径，由此求解即可．
〖解答〗解：（1）由题意知，$A(0,-b)$，$B(a,0)$，所以$\vert AB\vert =\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}=\sqrt{10}$，所以$a^{2}+b^{2}=10$；
又因为$e=\dfrac{c}{a}=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$，所以$c=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}a$，所以$c^{2}=a^{2}-b^{2}=\dfrac{8}{9}a^{2}$，所以$a^{2}=9b^{2}$；
所以$b^{2}=1$，$a^{2}=9$，椭圆$C:\dfrac{{x}^{2}}{9}+y^{2}=1$；
（2）$(i)$设点$P(m,n)$，$R(x,y)$，由题意知，$A(0,-1)$，$\vert \overrightarrow{AP}\vert \cdot \vert \overrightarrow{AR}\vert =3$，$\overrightarrow{AP}=(m,n+1)$，$\overrightarrow{AR}=(x,y+1)$，其中$m\ne 0$；
所以$\overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow{AR}=3$，即$mx+(n+1)(y+1)=3$①，
又因为$R$在$AP$上，所以$y=\dfrac{n+1}{m}x-1$，即$(n+1)x-my=m$②；
由①②联立求解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\dfrac{3m}{{m}^{2}{+(n+1)}^{2}}}\\ {y=\dfrac{{-m}^{2}{-n}^{2}+n+2}{{m}^{2}{+(n+1)}^{2}}}\end{array}\right.$，
所以点$R$的坐标为$(\dfrac{3m}{{m}^{2}{+(n+1)}^{2}}$，$\dfrac{{-m}^{2}{-n}^{2}+n+2}{{m}^{2}{+(n+1)}^{2}})$；
$(ii)$方法一、直线$OR$的斜率为$k_{1}=\dfrac{{-m}^{2}{-n}^{2}+n+2}{3m}$，直线$OP$的斜率为$k_{2}=\dfrac{n}{m}$，
若$k_{1}=3k_{2}$，则$\dfrac{{-m}^{2}{-n}^{2}+n+2}{3m}=\dfrac{3n}{m}$，即$m^{2}+(n+4)^{2}=18$，
所以点$P$在以$(0,-4)$为圆心，$3\sqrt{2}$为半径的圆上，又$Q$为椭圆$x^{2}+9y^{2}=9$上一点，
设$Q(x\prime ,y\prime )$，则$x\prime ^{2}+9y\prime ^{2}=9$，
所以$\vert PQ\vert$长度为$\sqrt{{x\prime }^{2}{+(y\prime +4)}^{2}}+3\sqrt{2}=\sqrt{9-{9y\prime }^{2}{+(y\prime +4)}^{2}}+3\sqrt{2}$
$=\sqrt{-{8(y\prime -\dfrac{1}{2})}^{2}+27}+3\sqrt{2}$，
因为$-1\leqslant y\prime \leqslant 1$，所以$y\prime =\dfrac{1}{2}$时，$\vert PQ\vert$的长度取得最大值为$3\sqrt{3}+3\sqrt{2}$．
方法二、点$P$所在的圆心为$M(0,-4)$，半径为$3\sqrt{2}$；
椭圆$\dfrac{{x}^{2}}{9}+y^{2}=1$上的点$Q$设为$(3\cos \theta ,\sin \theta )$，$\theta \in [0$，$2\pi )$；
则$\vert MQ\vert =\sqrt{{9\cos }^{2}\theta {+(\sin \theta +4)}^{2}}=\sqrt{-{8\sin }^{2}\theta +8\sin \theta +25}=\sqrt{-{8(\sin \theta -\dfrac{1}{2})}^{2}+27}$，
所以$\sin \theta =\dfrac{1}{2}$时，$\vert MQ\vert$取得最大值为$3\sqrt{3}$，此时$\vert PQ\vert$取得最大值是$3\sqrt{3}+3\sqrt{2}$．
〖点评〗本题考查了圆锥曲线的定义与性质应用问题，也考查了运算求解能力，是难题．
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