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2025年高考数学新高考Ⅰ-9<-->2025年高考数学新高考Ⅰ-11
（6分）设抛物线$C:y^{2}=6x$的焦点为$F$，过$F$的直线交$C$于$A$、$B$，过$F$且垂直于$AB$的直线交准线$l:x=-\dfrac{3}{2}$于$E$，过点$A$作准线$l$的垂线，垂足为$D$，则（ ）
A．$\vert AD\vert =\vert AF\vert$ B．$\vert AE\vert =\vert AB\vert$ C．$\vert AB\vert \geqslant 6$ D．$\vert AE\vert \cdot \vert BE\vert \geqslant 18$
〖答案〗$ACD$
〖分析〗由抛物线的定义可判断$A$；当直线$AB\bot x$轴时，可判断$B$；由通径最短，可判断$C$；当直线$AB\bot x$轴时，可判断$D$成立，再利用三角形的面积判断$m\ne 0$时，$D$也成立．
〖解答〗解：由题意可得$F(\dfrac{3}{2},0)$，
由抛物线的定义知$\vert AD\vert =\vert AF\vert$，所以$A$正确；
由通径最短，可得$\vert AB\vert \geqslant 2p=6$，所以$C$正确；
设$AB:x=my+\dfrac{3}{2}$，$A(x_{1}$，$y_{1})$，$B(x_{2}$，$y_{2})$，
由$\left\{\begin{array}{l}x=my+\dfrac{3}{2}\\ y^{2}=6x\end{array}\right.$，
消$x$可得$y^{2}-6my-9=0$，
$y_{1}+y_{2}=6m$，$y_{1}y_{2}=-9$，
所以$x_{1}+x_{2}=m(y_{1}+y_{2})+3=6m^{2}+3$，
所以$\vert AB\vert =x_{1}+\dfrac{3}{2}+x_{2}+\dfrac{3}{2}=6m^{2}+6$，
当$m=0$时，$E(-\dfrac{3}{2},0)$，$\vert AB\vert =2p=6$，$\vert AE\vert =\sqrt{A{F}^{2}+E{F}^{2}}=3\sqrt{2}$，
此时$\vert AB\vert =6$，$\vert AE\vert \ne \vert AB\vert$，所以$B$不正确；
此时$\vert AE\vert =\vert BE\vert =3\sqrt{2},\vert AE\vert \cdot \vert BE\vert =18$，
当$m\ne 0$时，$EF:x=-\dfrac{1}{m}y+\dfrac{3}{2}$，$E(-\dfrac{3}{2},3m)$，
则$\vert EF\vert =\sqrt{9+9m^{2}}$，
所以$S_{\triangle AEB}=\dfrac{1}{2}\vert AE\vert \cdot \vert BE\vert \sin \anglele AEB=\dfrac{1}{2}\vert AB\vert \cdot \vert EF\vert =\dfrac{1}{2}(6m^{2}+6)\sqrt{9+9m^{2}} > 9$，
$\vert AE\vert \cdot \vert BE\vert > \dfrac{18}{\sin \anglele AEB} > 18$，
综上$\vert AE\vert \cdot \vert BE\vert \geqslant 18$，所以$D$正确．
故选：$ACD$．
〖点评〗本题考查了抛物线的定义及性质，考查了数形结合思想，属于中档题．
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