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2025年高考数学北京-7<-->2025年高考数学北京-9
（4分）设函数$f(x)=\sin (\omega x)+\cos (\omega x)(\omega > 0)$．若$f(x+\pi )=f(x)$恒成立，且$f(x)$在$[0$，$\dfrac{\pi }{4}]$上存在零点，则$\omega$的最小值为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．3
〖答案〗$C$
〖分析〗先利用辅助角公式化简$f(x)$，根据$\pi$是$f(x)$的周期构造$\omega$的等式，然后结合$f(x)$的零点情况确定$\omega$的最小值．
〖解答〗解：由已知得$f(x)=\sqrt{2}\sin (\omega x+\dfrac{\pi }{4})$，
又$f(x+\pi )=f(x)$恒成立，所以$kT=\pi$，
所以$k\cdot \dfrac{2\pi }{\omega }=\pi$，即$\omega =2k$，$k\in N^{*}$，
$k=1$时，$\omega =2$，$f(x)=\sqrt{2}\sin (2x+\dfrac{\pi }{4})$，
因为$[0$，$\dfrac{\pi }{4}]$，所以$2x+\dfrac{\pi }{4}\in [\dfrac{\pi }{4}$，$\dfrac{3\pi }{4}]$，$f(x) > 0$，故$k=1$不符题意；
$k=2$时，$\omega =4$，$f(x)=\sqrt{2}\sin (4x+\dfrac{\pi }{4})$，
此时$f(0)=\sqrt{2}\sin \dfrac{\pi }{4}=1 > 0$，$f(\dfrac{\pi }{4})=\sqrt{2}\sin \dfrac{5\pi }{4}=-1 < 0$，
$f(0)f(\dfrac{\pi }{4}) < 0$，即$f(x)$在$[0$，$\dfrac{\pi }{4}]$上存在零点，
故$\omega =4$即为所求．
故选：$C$．
〖点评〗本题考查三角恒等变换以及三角函数的图象与性质，属于中档题．
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