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2025年高考数学北京-9<-->2025年高考数学北京-11
（4分）已知平面直角坐标系$xOy$中，$\vert \overrightarrow{OA}\vert =\vert \overrightarrow{OB}\vert =\sqrt{2}$，$\vert \overrightarrow{AB}\vert =2$．设$C(3,4)$，则$\vert 2\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}\vert$的取值范围是（ ）
A．$[6$，$14]$ B．$[6$，$12]$ C．$[8$，$14]$ D．$[8$，$12]$
〖答案〗$D$
〖分析〗由$\vert \overrightarrow{OA}\vert =\vert \overrightarrow{OB}\vert =\sqrt{2}$，$\vert \overrightarrow{AB}\vert =2$，可得点$A$、$B$在以$O$为圆心，$\sqrt{2}$为半径的圆上，取$AB$的中点$H$，得$\vert OH\vert =1$，则点$H$在以$O$为圆心，1为半径的圆上，根据向量的线性运算及数量积运算，可得$\vert 2\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}\vert ^{2}=4\overrightarrow{CH}^{2}$，再根据点到圆的距离范围可求得结论．
〖解答〗解：由$\vert \overrightarrow{OA}\vert =\vert \overrightarrow{OB}\vert =\sqrt{2}$，$\vert \overrightarrow{AB}\vert =2$，可知$\overrightarrow{OA}\bot \overrightarrow{OB}$，
故点$A$、$B$在以$O$为圆心，$\sqrt{2}$为半径的圆上，
取$AB$的中点$H$，可知$\vert OH\vert =1$，
所以点$H$在以$O$为圆心，1为半径的圆上，
则$\vert 2\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}\vert ^{2}=4\overrightarrow{CA}^{2}+4\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AB}^{2}$
$=4\overrightarrow{CA}\cdot (\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB})+4=4\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{CB}+4$
$=4(\overrightarrow{CH}+\overrightarrow{HA})(\overrightarrow{CH}+\overrightarrow{HB})+4=4(\overrightarrow{CH}^{2}-\overrightarrow{HA}^{2})+4$
$=4(\overrightarrow{CH}^{2}-1)+4=4\overrightarrow{CH}^{2}$，
所以$\vert 2\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}\vert =2\vert \overrightarrow{CH}\vert$，
另解：$2\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CA}+(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB})=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}$，
又$H$为$AB$中点，所以$2\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{CH}$，
所以$\vert 2\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}\vert =2\vert \overrightarrow{CH}\vert$，
又$\vert \vert \overrightarrow{CO}\vert -1\vert \le \vert \overrightarrow{CH}\vert \le \vert \overrightarrow{CO}\vert +1$，$\vert \overrightarrow{CO}\vert =\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5$，
则$4\le \vert \overrightarrow{CH}\vert \le 6$，故$8\le 2\vert \overrightarrow{CH}\vert \le 12$，
即$\vert 2\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}\vert$的取值范围是$[8$，$12]$．
故选：$D$．
〖点评〗本题考查平面向量的线性运算及数量积运算，属中档题．
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