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2025年高考数学北京-15<-->2025年高考数学北京-17
（10分）在△$ABC$中，$\cos A=-\dfrac{1}{3}$，$a\sin C=4\sqrt{2}$．
（1）求$c$的值；
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△$ABC$存在，求$BC$边上的高．
条件①：$a=6$；条件②：$a\sin B=\dfrac{10\sqrt{2}}{3}$；条件③：△$ABC$面积为$10\sqrt{2}$．
注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
〖答案〗（1）6；（2）不能选①；选②：$\dfrac{20\sqrt{2}}{9}$；选③：$\dfrac{20\sqrt{2}}{9}$．
〖分析〗（1）由同角三角函数的基本关系可得$\sin A$的值，再由正弦定理可得$c\sin A$的值，从而求得$c$；
（2）选①：由等边对等角和三角形的内角和定理可得△$ABC$不存在；选②：由正弦定理和条件可得$b$，再根据余弦定理求出$a$，最后利用三角形面积公式即可求得；选③：由三角形的面积公式求$b$，由余弦定理求$a$，再由三角形的面积公式即可求得．
〖解答〗解：（1）因为$\cos A=-\dfrac{1}{3}$，且$A\in (\dfrac{\pi }{2}$，$\pi )$，
所以$\sin A=\sqrt{1-co{s}^{2}A}=\sqrt{1-\dfrac{1}{9}}=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$，
由正弦定理$\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{c}{\sin C}$，得$c\sin A=a\sin C=4\sqrt{2}$，
所以$c=\dfrac{4\sqrt{2}}{\sin A}=\dfrac{4\sqrt{2}}{\dfrac{2\sqrt{2}}{3}}=6$；
（2）选①：因为$a=6$，由（1）知，$c=6$，
所以$a=c$，则$A=C$，
因为$A$为钝角，所以不符合三角形的内角和定理，
所以△$ABC$不存在；
选②：由正弦定理$\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}$，得$a\sin B=b\sin A=\dfrac{10\sqrt{2}}{3}$，
所以$b=5$，
根据余弦定理$a=\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}-2bc\cos A}=\sqrt{25+36-2\times 5\times 6\times (-\dfrac{1}{3})}=9$，
此时△$ABC$存在且唯一确定，
$S_{\triangle ABC}=\dfrac{1}{2}bc\sin A=\dfrac{1}{2}\times BC\times h$，
$\dfrac{1}{2}\times 5\times 6\times \dfrac{2\sqrt{2}}{3}=\dfrac{1}{2}\times 9\times h$，
所以$BC$边上的高$h=\dfrac{20\sqrt{2}}{9}$；
选③：因为△$ABC$面积为$10\sqrt{2}$，由（1）知，$c=6,\sin A=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$，
所以$S=\dfrac{1}{2}bc\sin A$，即$10\sqrt{2}=\dfrac{1}{2}\times 6\times \dfrac{2\sqrt{2}}{3}b$，解得$b=5$，
由余弦定理可得：$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos A=25+36-2\times 5\times 6\times (-\dfrac{1}{3})=81$，即$a=9$，
设$BC$边上的高为$h$，则$S=\dfrac{1}{2}ah$，所以$h=\dfrac{2S}{a}=\dfrac{20\sqrt{2}}{9}$．
〖点评〗本题考查利用正、余弦定理和三角形的面积公式解三角形，属于中档题．
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