|
2025年高考数学新高考Ⅱ-14<-->2025年高考数学新高考Ⅰ-16
（13分）已知$f(x)=\cos (2x+\varphi )(0\leqslant \varphi < \pi )$，且$f(0)=\dfrac{1}{2}$．
（1）求$\varphi$的值；
（2）设$g(x)=f(x)+f(x-\dfrac{\pi }{6})$，求$g(x)$的值域和单调区间．
〖答案〗（1）$\dfrac{\pi }{3}$；
（2）值域：$[-\sqrt{3},\sqrt{3}]$，递增区间$[-\dfrac{7\pi }{12}+k\pi ,-\dfrac{\pi }{12}+k\pi ]$，递减区间$[-\dfrac{\pi }{12}+k\pi ,\dfrac{5\pi }{12}+k\pi ]$，$k\in Z$．
〖分析〗（1）利用$f(0)=\dfrac{1}{2}$，求出$\varphi$的值；
（2）先利用三角恒等变换的知识将$g(x)$化简为一次的形式，然后结合正弦函数的性质求解．
〖解答〗解：$f(x)=\cos (2x+\varphi )(0\leqslant \varphi < \pi )$，且$f(0)=\dfrac{1}{2}$，
（1）由已知得$f(0)=\cos \varphi =\dfrac{1}{2}$，结合$0\leqslant \varphi < \pi$，
所以$\varphi =\dfrac{\pi }{3}$；
（2）由（1）知：$f(x)=\cos (2x+\dfrac{\pi }{3})$，所以$f(x-\dfrac{\pi }{6})=\cos 2x$，
所以$g(x)=f(x)+f(x-\dfrac{\pi }{6})=\cos 2x\cos \dfrac{\pi }{3}-\sin 2x\sin \dfrac{\pi }{3}+\cos 2x$
$=\dfrac{3}{2}\cos 2x-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x=\sqrt{3}[\cos 2x\cos \dfrac{\pi }{6}-\sin 2x\sin \dfrac{\pi }{6}]$
$=\sqrt{3}\cos (2x+\dfrac{\pi }{6})$，
显然$g(x)$的值域为$[-\sqrt{3}$，$\sqrt{3}]$，因为$y=\cos x$在$[-\pi +2k\pi$，$2k\pi ]$上递增，在$[2k\pi$，$2k\pi +\pi ]$上递减，$k\in Z$，
所以令$-\pi +2k\pi \le 2x+\dfrac{\pi }{6}\le 2k\pi$，解得$g(x)$的递增区间为$[-\dfrac{7\pi }{12}+k\pi$，$-\dfrac{\pi }{12}+k\pi ]$，$k\in Z$，
再令$2k\pi \leqslant 2x+\dfrac{\pi }{6}\leqslant 2k\pi +\pi$，解得$g(x)$的递减区间为$[-\dfrac{\pi }{12}+k\pi$，$\dfrac{5\pi }{12}+k\pi ]$，$k\in Z$．
〖点评〗本题考查三角恒等变换以及三角方程的计算，三角函数单调区间的求法等，属于中档题．
2025年高考数学新高考Ⅱ-14<-->2025年高考数学新高考Ⅰ-16
全网搜索"2025年高考数学新高考Ⅱ-15"相关
|
