|
2025年高考数学新高考Ⅱ-13<-->2025年高考数学新高考Ⅰ-15
（5分）一个底面半径为$4cm$，高为$9cm$的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为 $\dfrac{5}{2}$ $cm$．
〖答案〗$\dfrac{5}{2}$．
〖分析〗根据铁球在圆柱内的不同位置进行分类讨论，得到铁球半径的最大值．
〖解答〗解：若两铁球相切，且下方铁球与底面和侧面均相切，轴截面如图，
则球的半径$R=4$，此时$4R=16 > 9$，故不符合题意；
若两铁球相切，且上方铁球与上底面相切，下方铁球与下底面相切，
两球心均在圆柱上下底面中心连线上，如图，
则铁球半径$R$满足$4R=9$，此时$R=\dfrac{9}{4}$；
若两铁球相切，且上方铁球与上底面相切，下方铁球与下底面相切，
两球心分别在圆柱轴截面对角的角平分线上，轴截面如图，
其中$AC$为轴截面对角线，$O_{1}$、$O_{2}$为两球球心，
分别过$O_{1}$作$AD$的平行线，过$O_{2}$作$CD$的平行线，两线交于点$M$，
设铁球半径为$R$，
则$MO_{1}=8-2R$，$O_{2}M=9-2R$，$O_{1}O_{2}=2R$，
所以$(9-2R)^{2}+(8-2R)^{2}=4R^{2}$，
解得$R=\dfrac{5}{2}$或$R=\dfrac{29}{2}$（舍去），
故此时$R=\dfrac{5}{2}$．
综上，铁球半径的最大值为$\dfrac{5}{2}$．
故答案为：$\dfrac{5}{2}$．
〖点评〗本题主要考查圆柱的内切球，属于中档题．
2025年高考数学新高考Ⅱ-13<-->2025年高考数学新高考Ⅰ-15
全网搜索"2025年高考数学新高考Ⅱ-14"相关
|
