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2025年高考数学北京-13<-->2025年高考数学北京-15
（5分）某科技兴趣小组使用$3D$打印机制作的一个零件可以抽象为如图所示的多面体，其中$ABCDEF$是一个平面多边形，平面$AFR\bot$平面$ABC$，平面$CDT\bot$平面$ABC$，$AB\bot BC$，$AB//EF//RS//CD$，$BC//DE//ST//AF$．若$AB=BC=8$，$AF=CD=4$，$AR=RF=TC=TD=\dfrac{5}{2}$，则该多面体的体积为 60 ．
〖答案〗60．
〖分析〗分析出组合体为对称立体图形后，将组合体体积拆分成$V_{AFR-BNQ}+V_{CDN-BMP}+V_{S-BMEN}+V_{S-BMP}+V_{S-BNQ}$，根据代入棱锥、棱柱体积公式计算即可．
〖解答〗解：$\because AB//EF//CD$，$AF//BC//ED$，且$AB\bot BC$，
可得$BC\bot CD$，$CD\bot DE$，$DE\bot EF$，$EF\bot AF$，$AF\bot AB$，
延长$CB$与$EF$相交于点$N$，延长$AB$与$ED$相交于点$M$，
所以$AM\bot ED$，$CN\bot EF$，
所以四边形$ABNF$和四边形$CDMB$为矩形，所以$AF=CD=BM=BN$，
所以四边形$BNME$为正方形，所以$BM=ME=EN=BN=AF=CD=4$，
即$EF=DE=12$，由此可得组合体关于平面$SBE$对称；
过点$B$作$BQ//AR$，交$RS$于点$Q$，连接$QN$，过点$B$作$BP//CT$，交$TS$于点$P$，连接$PM$，
所以平面$ARF//$平面$BQN$，平面$CDT//BMP$，
所以组合体体积可以分为$V=V_{AFR-BNQ}+V_{CDN-BMP}+V_{S-BMEN}+V_{S-BMP}+V_{S-BNQ}$，
①求解三棱柱$AFR-BNQ$和$CDN-BMP$的体积：
因为平面$ARF\bot$平面$ABC$，平面$ARF\bigcap$平面$ABC=AF$，$AB\bot AF$，
所以三棱柱$AFR-BNQ$为直三棱柱（三棱柱$CDN-BMP$同理），
所以$V_{AFR-BNQ}=V_{CDT-BMP}=S_{\triangle ARF}\cdot \vert AB\vert =\dfrac{1}{2}\times 4\times \sqrt{(\dfrac{5}{2})^{2}-{2}^{2}}\times 8=24$；
②求解四棱锥$S-BMEN$的体积：
由组合体关于平面$SBE$对称，所以平面$SDE\bot$平面$BMEN$，
作$RS$在底面$ABEF$的投影，因为$AR=FR$，平面$ARF\bot$平面$ABC$，所以$R$在底面的投影为$AF$中点，
又因为平面$SDE\bot$平面$BMEN$，所以$S$在底面的投影为$BE$的中点$O$，$SO$即为$\sqrt{(\dfrac{5}{2})^{2}-{2}^{2}}=\dfrac{3}{2}$，
所以$V_{S-BMEN}=\dfrac{1}{3}\times 4\times 4\times \dfrac{3}{2}=8$；
③求解三棱锥$S-BMP$和三棱锥$S-BNQ$的体积：
因为$AB\bot$平面$ARF$，$AB//RQ$，平面平面$ARF//$平面$BQN$，
所以平面$BQN$垂直$RS$，所以$QS$即为三棱锥$S-BNQ$的高，$QS=\dfrac{1}{2}NE=2$，
所以$V_{S-BMP}=V_{S-BNQ}=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{1}{2}\times 4\times \sqrt{(\dfrac{5}{2})^{2}-{2}^{2}}\times 2=2$；
综上，组合体体积为$24+24+8+2+2=60$．
故答案为：60．
〖点评〗本题考查立体几何图形体积的求解，考查空间想象能力，属于中档题．
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