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2025年高考数学新高考Ⅱ-10<-->2025年高考数学新高考Ⅰ-12
（6分）双曲线$C:\dfrac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\dfrac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1(a > 0,b > 0)$的左、右焦点分别是$F_{1}$，$F_{2}$，左、右顶点分别为$A_{1}$，$A_{2}$，以$F_{1}F_{2}$为直径的圆与曲线$C$的一条渐近线交于$M$，$N$两点，且$\anglele NA_{1}M=\dfrac{5\boldsymbol{\pi} }{6}$，则（ ）
A．$\anglele A_{1}MA_{2}=\dfrac{\boldsymbol{\pi} }{6}$
B．$\vert MA_{1}\vert \ =2\vert MA_{2}\vert$
C．$C$的离心率为$\sqrt{13}$
D．当$a=\sqrt{2}$时，四边形$NA_{1}MA_{2}$的面积为$8\sqrt{3}$
〖答案〗$ACD$
〖分析〗根据题意作出图形，由对称性可知，四边形$NA_{1}MA_{2}$为平行四边形，可判断$A$；根据$OM=ON=c$，以及渐近线方程，可得$M(a,b)$，$N(-a,-b)$，根据正弦定理可判断$B$；由$A$、$B$选项分析，可得$\dfrac{b}{a}$，可求出离心率，判断$C$；由前述分析，可得平行四边形$MA_{1}NA_{2}$面积，判断$D$．
〖解答〗解：如图，
不妨设$M$在第一象限，渐近线为$y=\dfrac{b}{a}x$，
对于$A$，由对称性可知，四边形$NA_{1}MA_{2}$为平行四边形，所以$\anglele A_{1}MA_{2}=\boldsymbol{\pi} -\anglele NA_{1}M=\dfrac{\boldsymbol{\pi} }{6}$，故$A$对；
对于$B$，由已知，$OM=ON=c$，可得$MA_{2}$和$NA_{1}$垂直于$x$轴，
所以$\anglele MA_{1}A_{2}=\dfrac{5\boldsymbol{\pi} }{6}-\dfrac{\boldsymbol{\pi} }{2}=\dfrac{\boldsymbol{\pi} }{3}$，
由正弦定理得，$\dfrac{\vert M{A}_{1}\vert }{\vert M{A}_{2}\vert }=\dfrac{\sin \dfrac{\boldsymbol{\pi} }{2}}{\sin \dfrac{\boldsymbol{\pi} }{3}}=\dfrac{2}{\sqrt{3}}$，故$B$错；
对于$C$，由前述分析知，$\dfrac{2a}{b}=\tan \dfrac{\boldsymbol{\pi} }{6}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow e=\dfrac{c}{a}=\sqrt{1+\dfrac{b^{2}}{a^{2}}}=\sqrt{1+(2\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{13}$，故$C$正确；
对于$D$，由前述分析，平行四边形$MA_{1}NA_{2}$面积$S=2ab=4\sqrt{3}a^{2}=8\sqrt{3}$，故$D$正确．
故选：$ACD$．
〖点评〗本题主要考查直线与双曲线的综合，属于中档题．
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